Persamaan Fresnel - Plot Koefisien Reflektansi dan Transmitansi menggunakan MATLAB

A.    Koefisen refleksi (r) dan koefisien transmisi (t)

Koefisien refleksi didefinisikan sebagai besarnya perbandingan amplitudo gelombang pantul terhadap amplitudo gelombang sumber. Sedangkan koefisien transmisi menyatakan besarnya perbandingan amplitudo gelombang transmisi terhadap amplitudo gelombang sumber.

Gambar 1. Proses terjadi pemantulan dan pebiasan gelombang.

Untuk modus penjalaran T, Definisi koefisien refleksi dirumuskan dengan :

Sedangkan  untuk modus TM,

Berikutnya, koefisien transmisi didefinisikan oleh:

Sedangkan untuk modus TM dirumuskan oleh

Gambar 2. Nilai r dan t  dengan n₁ =1 dan n₂=1.5 (modus TE)

Dari gambar 2, terlihat bahwa

Gambar 3. Nilai r dan t  dengan n₁ =1.5 dan n₂=1 (modus TE)

Gambar 3 menunjukkan bahwa ketika gelombang merambat melalui medium dengan karakteristik n₁>n₂ maka akan terjadi sudut kritis yang merupakan sudut maksimal untuk mentransmisikan gelombang. Ketika gelombang datang dengan sudut kritis,maka gelombang akan dibiaskan dengan sudut  =90. Jika gelombang datang dengan sudut yang lebih besar dari sudut kritis,maka akan terjadi pemantulan sempurna. Sudut kritis dapat diturunkan dengan hukum Snellius:

Dari rumusan tersebut, sudut kritis hanya dapat terjadi ketika gelombang datang dari medium yang lebih rapat menuju medium yang kurang rapat (n₁>n₂). Dengan menggunakan n₁ =1.5 dan n₂=1, maka didapatkan sudut kritis 41,81 .

Selain pada modus TE, hal yang sama juga berlaku untuk modus TM yaitu kritis juga hanya dapat terjadi untuk n₁>n_2. 

Gambar 4. Nilai r dan t  dengan n₁ =1.5 dan n₂=1 (modus TM)

Pada modus TM, selain sudut kritis terdapat pula sudut Brewser, yaitu sudut gelombang datang  yang mengakibatkan tidak terdapatnya amplitudo pada gelombang pantul atau didefinisikan dengan :

Pada kondisi ini, syarat yang memenuhi adalah alpha = beta  , sehingga sudut Brewster didefinisikan sebagai :

Sedangkan untuk n₁<n₂, maka nilai r dan t berbanding terbalik. Hal ini menggambarkan bahwa untuk semua sudut datang pada medium n₁<n₂ gelombang bias akan mengalami pengurangan amplitudo seiring dengan pertambahan besarnya sudut datang,berbanding terbalik dengan amplitudoogelombang pantul. Untuk modus penjalaran gelombang TE, sudut Brewster hanya dapat terjadi ketika gelombang menjalar dengan karakteristik medium n₁=n₂.

Gambar 5. Nilai r dan t  dengan n₁ =1dan n₂=1.5 (modus TM)

A.                Reflektansi (R) dan Transmitansi (T)

Reflektansi (R) menyatakan adalah besarnya intensitas gelombang yang di pantulkan terhadap intensitas awalnya (datang). Sedangkan transmitansi (T) menyatakan besarnya intensitas gelombang yang di diteruskan ketika melewati suatu medium terhadap intensitas awalnya.

Definisi dari R dan T dirumuskan dengan :

Dengan menggunakan ekspresi Intensitas (I) di bidang batas z=0 :

Maka didapatkanlah persamaan Reflektansi (R) dan Transmitansi (T) untuk modus TE dan TM sebagai berikut :

Dan  untuk modus TM

Dengan cara yang sama didapatka pula persamaanuntuk T (reflektansi) sebagai berikut:

 Berikut hasil plotnya :

Gambar 6. Nilai R dan T dengan n₁ =1dan n₂=1.5 (modus TE)

Gambar 7. Nilai R dan T dengan n₁ =1.5dan n₂=1  (modus TE)

Dapat dibandingkan bahwa untuk sesama modus TE dengan perbedaan karakteristik perbedaan  medium penjalara n₁<n₂ (Gambar 6) dan n₁>n₂ (Gambar 7) terlihat bahwa nilai R semakin meningkat seiring dengan pertambahan sudut datang pada gambar 6. Hal ini berbanding terbalik dengan nilai T nya. Dari Gambar 7 dapat pula disimpulkan bahwa ketika gelombang menjalar dengan medium n₁>n₂ seluruh intensitas gelombang akan dipantulkan ketika mencapai sudut Brewster atau melebihinya.

            Sedangkan pada modus TM, sudut Brewster memiliki nilai yang berbeda ketika n₁<n₂ dan n₁>n₂. Perbedaannya, ketika n₁<n₂ sudut Brewsternya lebih besar dibandingkan pada kondisi n₁>n₂. Dari gambar 8  dapat pula  disimpulkan bahwa untuk n₁<n₂ , intensitas gelombang hanya ditransmisikan seluruhnya ketika sudut datang sama dengan  sudut Brewster. Sedangkan dari Gambar 9, intensitas gelombang juga ditransmisikan seluruhnya ketika sudut datang sama dengan sudut Brewster, namun akan direfleksikan seluruhnya ketika sama atau melebihi nilai sudut kritis. Dari keseluruhan nilai Rdan T yang ditampilkan pada Gambar 6,7,8, dan 9 terdapat hubungan yang memenuhi R+T =1, yang artinya total intensital gelombang pantul dan bias akan selalu sama dengan intensitas gelombang sumer (awa) nya.

Gambar 8. Nilai R dan T dengan n₁ =1 dan n₂=1.5  (modus TM)

Gambar 9. Nilai R dan T dengan n₁ =1.5 dan n₂=1 (modus TM)

Berikut source code program Matlab yang digunakan untuk plotting :

clc;clear all;

n1=1;     %udara

n2=1.5;    %air

miu0=4*pi*1e7;

miu1=miu0;

miu2=miu0;

teta_i=0:90;

sin_teta_t=(n1/n2).*sind(teta_i);

teta_t=asind(sin_teta_t);

teta_t=real(teta_t);

c=3*(10^8);

v1=c/n1;

v2=c/n2;

%-------------------------------SUDUT KRITIS----------------------

teta_k=asind(n2/n1);

teta_k=real(teta_k);

%----------------------------SUDUT BREWSTER TM--------------------

teta_b=atand(n2/n1);

teta_b=real(teta_b);

%---------------------------------MODUS TE------------------------

figure(1)

alpha=cosd(teta_t)./cosd(teta_i);

beta=(miu1*v1)./(miu2*v2);

rTE=((1-(alpha.*beta))./(1+(alpha.*beta)));

tTE=2./((1+(alpha*beta)));

plot(teta_i,rTE,teta_i,tTE,'r','linewidth',2)

xlabel('Sudut Datang (\theta i)','fontname','comic sans ms')

legend('r (koefisien refleksi)','t (koefisien transmisi)')

title('TRANSVERSE ELEKTRIK','fontsize',14,'fontweight','b','fontname','comic sans ms')

grid on

hold on

plot([teta_k teta_k],[min([rTE tTE]) max([rTE tTE])],'--g','linewidth',2)

ylim([min([rTE tTE]) max([rTE tTE])])

text11=text(teta_k-3,min([rTE tTE]+0.2),'sudut kritis','BackgroundColor',[.7 .9 .7]);

set(text11, 'rotation', 90)

hold on

plot([teta_b teta_b],[min([rTE tTE]) max([rTE tTE])],'--g','linewidth',2)

ylim([min([rTE tTE]) max([rTE tTE])])

text12=text(teta_b-3,min([rTE tTE]+0.2),'sudut Brewster','BackgroundColor',[.7 .9 .7]);

set(text12, 'rotation', 90)

%-----------------------------------------------------------------

figure(2);

RTE=rTE.^2;

TTE=(alpha*beta).*((tTE).^2);

plot(teta_i,RTE,teta_i,TTE,'r','linewidth',2)

xlabel('Sudut Datang (\theta i)','fontname','comic sans ms')

legend('R (Reflektansi)','T (Transmitansi)')

title('TRANSVERSE ELEKTRIK','fontsize',14,'fontweight','b','fontname','comic sans ms')

grid on

%

hold on

plot([teta_k teta_k],[min([RTE TTE]) max([RTE TTE])],'--g','linewidth',3)

ylim([min([RTE TTE]) max([TTE RTE])])

text21=text(teta_k-3,min([RTE TTE]+0.2),'sudut kritis','BackgroundColor',[.7 .9 .7]);

set(text21, 'rotation', 90)

%

hold on

plot([teta_b teta_b],[min([RTE TTE]) max([RTE TTE])],'--g','linewidth',3)

ylim([min([RTE TTE]) max([RTE TTE])])

text22=text(teta_b-3,min([RTE TTE]+0.2),'sudut Brewster','BackgroundColor',[.7 .9 .7]);

set(text22, 'rotation', 90)

%---------------------------------MODUS TM---------------------------------

figure(3)

rTM=(alpha-beta)./(alpha+beta); 

tTM=2./(alpha+beta);

plot(teta_i,rTM,teta_i,tTM,'r','linewidth',2)

xlabel('Sudut Datang (\theta i)','fontname','comic sans ms')

legend('r (koefisien refleksi)','t (koefisien transmisi)','fontname','comic sans ms')

title('TRANSVERSE MAGNETIK','fontsize',14,'fontweight','b','fontname','comic sans ms')

grid on

hold on

plot([teta_k teta_k],[min([rTM tTM]) max([rTM tTM])],'--g','linewidth',2)

ylim([min([rTM tTM]) max([tTM rTM])])

text31=text(teta_k-3,min([rTM tTM]+0.2),'sudut kritis','BackgroundColor',[.7 .9 .7]);

set(text31, 'rotation', 90)

hold on

plot([teta_b teta_b],[min([rTM tTM]) max([rTM tTM])],'--g','linewidth',2)

ylim([min([rTM tTM]) max([rTM tTM])])

text32=text(teta_b-3,min([rTM tTM]+0.2),'sudut Brewster','BackgroundColor',[.7 .9 .7]);

set(text32, 'rotation', 90)

%--------------------------------------------------------------------------

figure(4);

RTM=rTM.^2;

TTM=(alpha*beta).*((tTM).^2);

plot(teta_i,RTM,'--',teta_i,TTM,'r','linewidth',2)

xlabel('Sudut Datang (\theta i)','fontname','comic sans ms')

legend('R (Reflektansi)','T (Transmitansi)')

title('TRANSVERSE MAGNETIK','fontsize',14,'fontweight','b','fontname','comic sans ms')

grid on

hold on

plot([teta_k teta_k],[min([RTM TTM]) max([RTM TTM])],'--g','linewidth',2)

ylim([min([RTM TTM]) max([TTM RTM])])

text41=text(teta_k-3,min([RTM TTM]+0.2),'sudut kritis','BackgroundColor',[.7 .9 .7]);

set(text41, 'rotation', 90)

hold on

plot([teta_b teta_b],[min([RTM TTM]) max([RTM TTM])],'--g','linewidth',2)

ylim([min([RTM TTM]) max([RTM TTM])])

text42=text(teta_b-3,min([RTM TTM]+0.2),'sudut Brewster','BackgroundColor',[.7 .9 .7]);

set(text42, 'rotation', 90)